Prof. M. Schwarz  Analysis B  SS 2009

Serie 7

1. a) (L) (1 Punkt) Skizziere den Graph von f(x, y) = \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} , so daß das Unstetigkeitsverhalten bei (0, 0) sichtbar wird. (Nur Skizzen von Hand zulässig! Keine Computer-generierten Ausdrucke!)

b) (L) (3 Punkte) Betrachte f: ℝ^{2} \ {0} → ℝ,

f(x_{1}, x_{2}) = \frac{x_{1}^{3}x_{2}}{(x_{1}^{4} + x_{2}^{2})\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}} .

Berechne die Grenzwerte lim_{t↓0} f(tz) für z ∈ ℝ, z ≠ 0, und lim_{t↓0} f(t, t^{2}), und interpretiere die Ergebnisse geometrisch.

2. a) 2 Punkte Untersuche folgende Funktion auf Stetigkeit in (0, 0),

f(x, y) = x^{y}, x ≥ 0 .

b) 1 Punkt: Warum ist f(x, y) = x^{y} stetig für x, y > 0?

3. (L) Der metrische Teilraum S^{n} := { x ∈ ℝ^{n+1} | ∥x∥_{2} = 1 } von ℝ^{n+1} heißt die n-dimensionale Sphäre (n ∈ ℕ). Der Punkt N = (0, …, 0, 1) heißt der “Nordpol” von S^{n}. Die durch x_{n+1} = 0 gegebene Hyperebene des ℝ^{n+1} wird im folgenden mit ℝ^{n} identifiziert, indem (x_{1}, …, x_{n}, 0) = (x_{1}, …, x_{n}) gesetzt wird. (je 1 Punkt pro Teilaufg.)

a) Sei x ∈ S^{n} \{N}. Zeige: Die Gerade durch N und x im ℝ^{n+1} schneidet ℝ^{n} in genau einem Punkt p(x). Also erhält man eine Abbildung p: S^{n} \ {N} → ℝ^{n}. Diese Abbildung heißt stereographische Projektion.

b) Zeige: Für x ∈ S^{n} \ {N} ist

p(x) = (\frac{x_{1}}{1 − x_{n+1}} , …, \frac{x_{n}}{1 − x_{n+1}} ) ,

und folgere daraus, daß p stetig ist.

c) Zeige, daß p bijektiv ist, berechne p^{−1} : ℝ^{n} → S^{n} \ {N}, und folgere daraus, daß auch p^{−1} stetig ist.

d) Veranschauliche p im Fall n = 2 durch Skizzen.

4. Zeige (4 Punkte): Die Gruppe der orthogonalen n × n Matrizen

O(n, ℝ) = { A ∈ M(n × n, ℝ) | A^{t} = A^{−1} }

ist eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge des normierten Vektorraums M(n × n, ℝ). (beschränkt bzgl. einer beliebigen Norm!)

Rückgabe: Freitag, 29.05.09 in den Briefkästen