Prof. M. Schwarz  Analysis B  SS 2009

Serie 6

1. Betrachte den Folgenraum l_{p}(ℂ) = { (x_{n}) ∈ ℂ^{ℕ} | ∑_{n∈ℕ} |x_{n}|^{p} < ∞ } mit der Norm ∥(x_{n})∥_{p} = (∑ |x_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}} und l_{∞} der Vektorraum der beschränkten Folgen mit der Supremumsnorm ∥ · ∥_{∞}.

a) Zeige: Für alle p, q ∈ [1, ∞) ∪ {∞} gilt (2 Punkte) p ≤ q ⇒ l_{p} ⊂ l_{q} und ∥x∥_{q} ≤ ∥x∥_{p} f.a. x ∈ l_{p} .

b) Zeige: Keine zwei der Normen ∥ · ∥_{1}, ∥ · ∥_{2}, ∥ · ∥_{∞} auf l_{1} sind äquivalent. (2 Punkte)

2. Sei (X, d) ein metrischer Raum.

a) (L) Für ∅ ≠ A ⊂ X und x ∈ X ist der Abstand von x zu A definiert durch

d(x, A) := inf{ d(x, a) | a ∈ A } . Zeige: x ∈ Ā ⇔ d(x, A) = 0. (2 Punkte)

b) (L) Für nichtleere Mengen A, B ⊂ X ist der Abstand von A nach B definiert durch d(A, B) = inf{ d(a, b) | a ∈ A, b ∈ B }. Beweise oder widerlege: Sind A, B abgeschlossen in X und disjunkt, so ist d(A, B) > 0. (2 Punkte)

3. Entscheide, ob folgende metrische Räume vollständig sind und beweise dies:

a) (L) C^{1}([−1, 1], ℝ) mit der Supremumsnorm ∥ · ∥_{∞}. (2 Punkte)

b) (L) C_{b}^{0}(ℝ, ℝ) = { f: ℝ → ℝ stetig und beschränkt} mit der Supremumsnorm. (2 Punkte)

c) (L) { (x, y, z) ∈ ℝ^{3} \ {0} | x^{2} + y^{2} = z^{2} } mit einer durch eine beliebige Norm auf ℝ^{3} induzierten Metrik. (1 Punkt)

4. Ist { (x_{n}) ∈ ℂ^{ℕ} | ∃ n_{o} ∈ ℕ s.d. x_{n} = 0 f.a. n ≥ n_{o}} in l_{2} bzgl. ∥ · ∥_{2} abgeschlossen? Begründe!. (2 Punkte)

Rückgabe: Montag, 25.05.09 in den Briefkästen bis 15.00 Uhr