Prof. M. Schwarz  Analysis B  SS 2009

Serie 5

1. Betrachte den Vektorraum ℝ^{N}, N ∈ ℕ und definiere für p ≥ 1

\begin{aligned}∥(x_{n})∥_{p} & := (∑_{n=1}^{N} |x_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}} f.a.(x_{n}) ∈ ℝ^{N}, \\ ∥(x_{n})∥_{∞} & := sup_{n=1,...,N} |x_{n}| . \end{aligned}

a) (2 Punkte) Seien u, v > 0 und p, q ∈ [1, ∞) mit \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Zeige:

u v ≤ \frac{u^{p}}{p} + \frac{v^{q}}{q} .

(Hinweis: Setze u = e^{s/p} und v = e^{t/q} für s, t ≥ 0 und verwende die Konvexität der Funktion f(x) = e^{x}, d.h. folgere aus f′′(x) ≥ 0, dass tf(x)+(1−t)f(y) ≥ f(tx+(1−t)y) f.a. t ∈ [0, 1])

b) (L) (2 Punkte) Seien x = (x_{n}) ∈ ℝ^{N}, y = (y_{n}) ∈ ℝ^{N} mit \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 wie in a). Zeige:

für ⟨x, y⟩ := ∑_{n=1}^{N} x_{n}y_{n} gilt ⟨x, y⟩ ≤ ∥x∥_{p}∥y∥_{q} .

Bem.: Dies ist die sogenannte Hölder-Ungleichung. Hinweis: Üblicher Trick: Ersetze x ∈ ℝ^{N} durch \frac{x}{∥x∥_{p}}.

2. a) (L) (2 Punkte) Zeige: ∥x + y∥_{p} ≤ ∥x∥_{p} + ∥y∥_{p} f.a. x, y ∈ ℝ^{N}.

(Hinweis: Zwischenschritt z.z.: ∑ x_{n}(x_{n} + y_{n})^{p−1} ≤ ∥x∥_{p}( ∑(x_{n} + y_{n})^{(p−1)q})^{\frac{1}{q}}, p, q wie oben)

b) (2 Punkte): Betrachte den Vektorraum ℝ^{∞} := ℝ^{ℕ} der Folgen reeller Zahlen. Definiere

l_{p} := { (x_{n}) ∈ ℝ^{∞} | ∑_{n=1}^{∞} |x_{n}|^{p} kv.},
und l_{∞} := { (x_{n}) ∈ ℝ^{∞} | (x_{n}) beschränkt} .

Definiere für p ≥ 1

∥(x_{n})∥_{p} := (∑_{n=1}^{∞} |x_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}} f.a.(x_{n}) ∈ l_{p}, ∥(x_{n})∥_{∞} := sup_{n∈ℕ} |x_{n}| .

Zeige ∀p ∈ [1, ∞]: (l_{p}, ∥ · ∥_{p}) ist ein normierter Vektorraum.

Bitten wenden!

3. Beweise für Teilmengen A, B ⊂ X eines metrischen Raumes (je 1 Punkt):

a) Bei äquivalenten Metriken d_{1} und d_{2} auf einem Raum X stimmen die Teilmengen-Eigenschaften “offen” und “abgeschlossen” überein.

b) (L) \overline{A ∪ B} = Ā ∪ B̄ und (A ∩ B)^{o} = A^{o} ∩ B^{o}.

c) (L) \overline{A ∩ B} ⊂ Ā ∩ B̄ und (A ∪ B)^{o} ⊃ A^{o} ∪ B^{o}. Gib jeweils ein Beispiel, welches zeigt, daß keine Gleichheit gilt.

d) ∂A ist abgeschlossen in X.

4. Für A ⊂ X = metrischer Raum kann man folgende Mengen bilden:

A, A^{o}, \overline{A^{o}}, \overline{A^{o}}^{o}, … und \overline{A}, \overline{A}^{o}, \overline{\overline{A}^{o}}, …

Zeige (je 1 Punkt):

a) (L) Es existiert ein Beispiel von A ⊂ X, so dass das obige Mengensystem aus mindestens 5 verschiedenen Mengen besteht.

b) Es existiert ein Beispiel von A ⊂ X, so dass das obige Mengensystem aus mindestens 7 verschiedenen Mengen besteht.

c) Das obige Mengensystem besteht immer aus höchstens 7 verschiedenen Mengen.

Rückgabe: Freitag, 15.05.09 in den Briefkästen