Prof. M. Schwarz  Analysis B  SS 2009

Serie 4

1. a) Sei f_{n}: [a, b] → ℝ eine Folge von stetigen Funktionen, so daß ∑_{n=1}^{∞} f_{n} normal konvergent ist. Zeige, daß dann s_{n} = ∑_{k=1}^{n} f_{k} gleichmäßig konvergiert. (2 Punkte)

b) (L) Bestimme bei den folgenden Funktionenfolgen, ob gleichmäßige Konvergenz auf dem angegebenen Definitionsereich vorliegt und gib die Limesfunktion an, wo möglich

1. f_{n}(x) = \frac{n^{2}x}{1+n^{3}x^{2}} , x ∈ ℝ, ( 1 Pkt.)

2. f_{n}(x) = \frac{e^{−nx}}{n}, x ≥ 0, ( 1 Pkt.)

3. f_{n}(x) = nxe^{−nx}, x ∈ [0, 1], ( 1 Pkt.)

2. a) (L) Berechne

∫_{−π}^{π} sin nx sin mxdx, ∫_{−π}^{π} cos nx cos mxdx, ∫_{−π}^{π} cos nx sin mxdx

für alle m, n ∈ ℕ. (2 Punkte)

b) (L) Berechne ∫_{0}^{1} x^{n}(1 − x)^{m}dx für alle m, n ∈ ℕ_{0}. (2 Punkte)

3. a) Sei f ∈ C^{0}([a, b]), f ≥ 0 und M = max_{[a,b]} f. Zeige: (2 Punkte)

lim_{n→∞} [∫_{a}^{b}(f(x))^{n}dx]^{\frac{1}{n}} = M .

b) Seien f, g ∈ R([a, b]). Beweise die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (2 Punkte)

(∫_{a}^{b} f(x)g(x)dx)^{2} ≤ (∫_{a}^{b} f(x)^{2}dx) (∫_{a}^{b} g(x)^{2}dx) .

4. (L) Zeige, daß das Integral ∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x}dx existiert. (2 Punkte)

Rückgabe: Freitag, 08.05.09 in den Briefkästen