Prof. M. Schwarz  Analysis B  SS 2009

Serie 3

1. a) Zeige: Die Funktion f(x) = \frac{1}{x} − [\frac{1}{x}] für x > 0 und f(0) = 0 definiert auf [0, 1] ist Riemannintegrierbar. (1 Punkt)

b) Beweise oder widerlege: Die Funktion f: [0, 1] → ℝ,

f(x) = \begin{cases}sin \frac{1}{x}, & x ∈ (0, 1], \\ 0, & x = 0, \end{cases}

ist Riemann-integrierbar. (2 Punkte)

2. Sei f: [a, b] → ℝ eine beschränkte Funktion und D ⊂ [a, b] die Menge der Punkte, an denen f nicht stetig ist. Zeige: Falls D höchstens einen Häufungspunkt hat, so ist f Riemann-integrierbar. (4 Punkte)

3. Es sei V der reelle Vektorraum der stetigen Funktionen auf ℝ, V = C^{0}(ℝ) und J eine Abbildung, die jedem abgeschlossenen Intervall I = [a, b], a < b, ein lineares Funktional J(I) ∈ V^{∗} zuordnet (Schreibweise: f ↦ J(I)(f) ∈ ℝ, f.a. f ∈ V) mit den folgenden Eigenschaften:

(b) Additivität J([a, c])(f) = J([a, b])(f) + J([b, c])(f) f.a. a < b < c, f ∈ V,

(a) Positivität J(I)(f) ≥ 0, falls f(x) ≥ 0 f.a. x ∈ I,

(b) Translationsinvarianz J(I_{λ})(f_{λ}) = J(I, f) f.a. I abgeschlossenes Intervall, f ∈ V und λ ∈ ℝ, wobei f_{λ}(x) := f(x − λ) und [a, b]_{λ} := [a + λ, b + λ],

(c) Normierung J([0, 1])(1) = 1 für 1(x) = 1 f.a. x ∈ ℝ.

Zeige:

J([a, b])(f) = ∫_{a}^{b} f(x)dx, f.a. a < b, f ∈ C^{0}(ℝ) .

(4 Punkte)

4. Berechne:

a) ∫ \frac{dx}{\sqrt{x}− \sqrt[4]{x}} für x > 1. (1 Punkt)

b) ∫ \frac{x^{2}+1}{\sqrt{1+x}}dx für x > −1. (1 Punkt)

c) ∫ \frac{ln(ln x)}{x ln x}dx für x > 1. (1 Punkt)

d) ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{cosh x}. (1 Punkt)

Rückgabe: Montag, 04.05.09 in den Briefkästen