Prof. M. Schwarz  Analysis B  SS 2009

Serie 11

1. a) (L) Berechne für f(x, y) = sin xy im Punkt (1, 0) die Richtungsableitung in Richtung v = (1/2, 1/2\sqrt{3}) und ferner die Richtung in diesem Punkt, in der die Richtungsableitung ∂_{v}f(1, 0) maximal ist, sowie diesen maximalen Wert. (2 Punkte)

b) Sei G ⊂ ℝ^{3} der Graph von f(x, y) = xy und sei T die Tangentialebene im Punkt (x_{o}, y_{o}, x_{o}y_{o}) von G. Bestimme die Ebenengleichung von T und zeige, daß T ∩ G aus zwei sich schneidenen Geraden besteht. (2 Punkte)

c) (L) Skizziere die Niveaulinien von f(x, y) = x^{−3}y^{2}, x ∈ ℝ \ {0}, y ∈ ℝ. (1 Punkt)

2. (L) Sei auf ℝ_{+}^{2} = { (x, y) ∈ ℝ^{2} | y > 0 } die Funktion f: ℝ_{+}^{2} → ℝ definiert durch f(x, y) = \frac{y}{x^{2}} (y −x^{2}) für 0 < y < x^{2} und durch f(x, y) = y −x^{2} für x^{2} ≤ y. Berechne die partiellen Ableitungen \frac{∂f}{∂x} und \frac{∂f}{∂y} und zeige, daß diese in ℝ_{+}^{2} stetig sind, also daß f in ℝ_{+}^{2} stetig differenzierbar ist.(3 Punkte)

3. Die Funktion f aus Aufgabe 2 wird wie folgt zu einer wiede rmit f bezeichneten Funktion f: ℝ^{2} → ℝ fortgesetzt: Für y < 0 sei f(x, y) = −f(x, −y) und es sei f(x, 0) = 0.

a) (L) Begründe warum, f auch auch { (x, y) | y < 0 } stetig differenzierbar ist. (1 Punkt)

b) Zeige, daß f auch auf den Punkten der x-Achse differenzierbar ist, wobei das Differential Df(x_{o}, 0): ℝ^{2} → ℝ gegeben ist durch (2 Punkte)

Df(x_{o}, 0)[(u, v)] = −v für x_{o} ≠ 0 und Df(x_{o}, 0)[(u, v)] = v für x_{o} = 0 .

4. Es sei g: ℝ^{2} → ℝ^{2} die Abbildung g(x, y) = (x, f(x, y)), wobei f die Funktion aus Aufgabe 3 ist. Zeige:

a) (L) g ist differenzierbar. (1 Punkt)

b) (L) Das Differential von g bei (0, 0) ist ein Isomorphismus. (1 Punkt)

c) (L) Es gibt keine Umgebung von (0, 0), die unter g bijektiv auf ihr Bild abgebildet wird.(1 Punkt)

d) (L) Vergleiche dies mit dem Umkehrsatz. Welche Voraussetzung des Umkehrsatzes ist hier nicht erfüllt? (1 Punkt)

Rückgabe: Montag, 29.06.09 in den Briefkästen