Prof. M. Schwarz  Analysis B  SS 2009

Serie 10

1. Es seien (X, ∥ · ∥_{X}) und (Y, ∥ · ∥_{Y}) zwei gegebene normierte reelle Vektorräume und f: X → Y eine lineare Abbildung.

a) Zeige: ∥f∥_{Op} := sup_{x∈X\\{0\}} \frac{∥f(x)∥_{Y}}{∥x∥_{X}} = sup_{∥x∥_{X}=1} ∥f(x)∥_{Y}. (1 Pkt.)

b) Zeige: ∥ · ∥_{Op} ist eine Norm auf L(X, Y). (1 Pkt.)

c) Berechne die Operatornorm der linearen Abbildung

f = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix}) ∈ M(2 × 2, ℝ)

bezüglich der euklidischen Norm ∥ · ∥_{2} auf ℝ^{2}. (2 Pkte.)

2. a) (L) Betrachte die Abbildung f: ℝ^{2} \ {x = 0} → ℝ^{3},

f(x, y) = (∫_{0}^{y} e^{−xt^{2}}dt, ln(1 + x^{2}y^{2}), arctan \frac{y}{x}) .

Zeige: f ist überall differenzierbar und berechne die Jakobi-Matrix in dem Punkt (1, 0). (2 Pkte.) (Hinweis: Vergessen Sie nicht, ein hinreichendes Kriterium für die Differenzierbarkeit an einem beliebigen Punkt in ℝ^{2} anzugeben und zu verifizieren. )

b) (L) Bestimme alle Punkte des ℝ^{3}, bei denen das Differential Df: ℝ^{3} → ℝ^{2} der Abbildung f(x, y, z) = (e^{x}, \frac{(1+x)z}{1+y^{2}} ) nicht surjektiv ist. (2 Pkte)

3. Es sei f: ℝ^{2} → ℝ definiert durch f(x, y) = \frac{xy(x^{2}−y^{2})}{x^{2}+y^{2}} für (x, y) ≠ (0, 0) und durch f(0, 0) = 0. Zeige:

a) (L) f ist stetig. (1 Pkt.)

b) (L) \frac{∂f}{∂x} und \frac{∂f}{∂y} existieren und sind stetig in ℝ^{2}. (1 Pkt.)

c) (L) \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} und \frac{∂^{2}f}{∂y∂x} existieren und sind in (x, y) ≠ (0, 0) stetig. (1 Pkt.)

d) (L) Es ist \frac{∂^{2}f}{∂x∂y} (0, 0) ≠ \frac{∂^{2}f}{∂y∂x}(0, 0). (1 Pkt.) (Dies ist ein Beispiel, in dem die Vertauschungsregel nicht gilt.)

Bitten wenden!

4. Sei f: ℝ^{2} → ℝ definiert durch f(x, y) = \frac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}} für (x, y) ≠ (0, 0) und durch f(0, 0) = 0. Zeige:

a) (L) f ist stetig, \frac{∂f}{∂x} und \frac{∂f}{∂y} existieren, sind bei (x, y) ≠ (0, 0) stetig und bei (0, 0) nicht stetig. (1 Pkt.)

b) (L) Für alle v ∈ ℝ^{2} existiert die Richtungsableitung ∂_{v}f(0, 0) und die Funktion ℝ^{2} → ℝ, v ↦ ∂_{v}f(0, 0) ist linear. (1 Pkt.)

c) (L) Die Funktion f ist bei (0, 0) nicht differenzierbar. (1 Pkt.)

Rückgabe: Montag, 22.06.09 in den Briefkästen