Prof. M. Schwarz  Analysis B  SS 2009

Serie 1

1. a) Sei f: (a, b) → ℝ differenzierbar und x_{o} ∈ (a, b) mit f′(x) ≥ 0 f.a. x ≤ x_{o} und f′(x) ≤ 0 f.a. x ≥ x_{o}. Zeige: Dann ist f(x_{o}) ein Maximum von f auf (a, b). (1 Punkt)

b) Sei f: (a, b) → ℝ zweimal differenzierbar und x_{o} ∈ (a, b) mit f′(x_{o}) = 0 und f′′(x_{o}) > 0. Zeige: Dann ist f(x_{o}) ein lokales Minimum von f. (1 Punkt)

c) Es sei C = { (x, x^{2}) ∈ ℝ^{2} | x ∈ ℝ }. Finde alle Punkte auf C, die den Abstand zum Punkt (0, 1) minimieren. (3 Punkte)

2. Es sei f(x) = e^{−x^{2}}. Beweise f^{(2k+1)}(−x) = −f^{(2k+1)}(x) f.a. x ∈ ℝ, k ∈ ℕ ohne explizite Berechnung der Ableitungen. (3 Punkte)

3. a) Es sei f(x) = arctan(x). Bestimme alle Ableitungen f^{(k)}(0), k ∈ ℕ. (2 Punkte)

b) Betrachte die Funktion f(x) = \sqrt{1 + x^{2}}, x ∈ ℝ, berechne das Taylorpolynom T_{3}f(x; 0) und eine Schranke für den Fehler |f(x) − T_{3}f(x; 0)| in [−\frac{1}{10}, \frac{1}{10}]. (2 Punkte)

4. Es sei f: [0, ∞) → ℝ eine stetige Funktion mit f zweimal differenzierbar auf (0, ∞), und es existiere

ein λ > 0 mit

f′′(x) ≥ λ^{2}f(x) f.a. x > 0 und lim_{x→∞} f(x) = 0 .

Zeige: Dann gilt f(x) ≤ f(0)e^{−λx} f.a. x ≥ 0. (3 Punkte) (Hinweis: Betrachte △(x) = f(0)e^{−λx} − f(x), △(0), lim_{x→∞} △(x) und zeige min △ ≥ 0.)

Rückgabe: Freitag, 17.04.09 in den Briefkästen