Prof. M. Schwarz  Analysis A  WS 2008/09

Zusatzserie

Alle nachfolgenden Aufgaben sind zur Wiederholung des bisherigen Stoffes und als freiwilligesÜbungsangebot gedacht. Soweit bei einzelnen Aufgaben Punkte angegeben sind, werden bei korrekter Bearbeitung Punkte bis zu dieser Höhe vergeben, die außerhalb der erforderlichen Übungsserienpunkten zu den im regulärem Übungsbetrieb erreichten Punkten hinzugerechnet werden.

1. a) Zeige: Jede beschränkte Teilmenge von ℕ hat ein größtes Element.

b) Definiere das Supremum einer Menge von reellen Zahlen A ⊂ ℝ und zeige die Eindeutigkeit von sup A.

c) 2 Punkte Bestimme sup_{n∈ℕ}(3 + \frac{(−1)^{n}}{n}) und lim sup_{n∈ℕ}(3 + \frac{(−1)^{n}}{n}).

d) 2 Punkte Zeige: Jede nichtleere Teilmenge von ℕ hat ein kleinstes Element.

e) Zeige: ℕ ist unbeschränkt.

2. a) 3 Punkte Zeige: Für alle n ∈ ℕ existieren eindeutige s, r_{s} ∈ ℕ ∪ {0} und i ∈ {1, 2} mit 0 ≤ r_{s} < 3^{s} und n = i · 3^{s} + r_{s}.

b) 3 Punkte Zeige: Für alle n ∈ ℕ gilt: 7 teilt 10^{n} − 3^{n}.

c) Zeige: Für alle n ∈ ℕ und a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ gilt: Falls a_{1}^{2} + … + a_{n}^{2} = 0, so ist a_{1} = a_{2} = … = a_{n} = 0.

d) Zeige: Für alle n ∈ ℕ gilt: ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i + 1)} = \frac{n}{n + 1}.

e) Beweise folgendes Induktionsprinzip: Sei P ⊂ ℕ eine Teilmenge mit der Eigenschaft 1 ∈ P und [ {1, …, n} ⊂ P ⇒ n + 1 ∈ P ]. Zeige: Dann gilt P = ℕ.

3. a) Bestimme für folgende Folgen (a_{n})_{n∈ℕ} reeller Zahlen ob Konvergenz oder Divergenz vorliegt und berechne im Konvergenzfall den Grenzwert:

• 2 Punkte a_{n} = \sqrt{n^{2} + 3n} − n

• a_{n} = \sqrt{n + 3} − \sqrt{n}

• a_{n} = \frac{10^{n}}{n^{10}}

• a_{n} = \frac{10^{n}}{n!}

• 2 Punkte a_{n+1} = a_{n}/2 + 2/a_{n}

• a_{n} = \frac{1}{1·2} + \frac{1}{2·3} + … + \frac{1}{n(n+1)}.

• a_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}+k}

Bitten wenden!

• 2 Punkte a_{n} = (1 − 1/2)(1 − 1/3) · . . . · (1 − 1/n).

• a_{n} = (α^{n} + β^{n} + γ^{n})^{\frac{1}{n}} mit 0 < α ≤ β ≤ γ.

b) Gib die Definition einer Cauchy-Folge reeller Zahlen und zeige: (a_{n}) konvergiert ⇒ (a_{n}) ist Cauchy-Folge. Was kannst Du über die Gegenrichtung sagen?

c) Zeige: Eine monotone und beschränkte reelle Folge ist konvergent.

d) 3 Punkte Zeige: Falls |a_{n+1} − a_{n}| ≤ \frac{1}{2}|a_{n} − a_{n−1}| für alle n ∈ ℕ, so ist (a_{n}) eine Cauchy-Folge.

4. a) Zeige direkt (ohne Verwendung von Wurzel-, Quotienten-, oderähnlichen Kriterien), daß die Reihe

∑_{n=0}^{∞} q^{n} absolut konvergiert, falls |q| < 1, und berechne den Grenzwert.

b) Zeige: 2 Punkte Falls die Reihe ∑ |a_{n} − a_{n+1}| konvergiert, so auch die Folge (a_{n}).

c) Bestimme Konvergenz oder Divergenz folgender Reihen:

• ∑ n^{2}e^{−n}

• ∑ n^{n}e^{−n}

• ∑ \frac{1}{n!}

• ∑ a^{n}n^{a}, mit a > 0,

• ∑(\sqrt{1 + n^{2}} − n)

• ∑(\frac{1}{3+(−1)^{n}})^{n}

• ∑ \frac{ln n}{n^{2}}

• ∑ \frac{1}{x^{n}−y^{n}}, x > y > 0,

• ∑ \frac{1}{n ln n}

d) 2 Punkte Beweise folgende einfache Version des Quotientenkriteriums: Sei (a_{n}) eine Folge positiver reeller Zahlen mit \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ≤ q < 1 f.a. n ∈ ℕ. Zeige: ∑ a_{n} konvergiert.

5. 3 Punkte Es sei f: ℕ → ℕ eine beschränkte Umordnung, also eine bijektive Abbildung, so dass es eine Konstante C > 0 gibt, mit |f(n) − n| < C für alle n ∈ ℕ. Zeige, dass jede Reihe ∑_{n∈ℕ} a_{n} (mit a_{n} ∈ ℝ für alle n ∈ ℕ) genau dann konvergiert, wenn die Reihe ∑_{n∈ℕ} a_{f(n)} konvergiert.

6. 2 Punkte Seien (a_{n})_{n∈ℕ}, (b_{n})_{n∈ℕ} ∈ ℝ^{ℕ} zwei reelle Zahlenfolgen, sowie c_{n} := a_{n} · b_{n}. (Also nicht das Cauchy-Produkt!) Zeige oder widerlege mit Hilfe eines Gegenbeispiels:

a) Wenn ∑_{n∈ℕ} a_{n} und ∑_{n∈ℕ} b_{n} konvergieren, dann konvergiert auch ∑_{n∈ℕ} c_{n}.

b) Wenn ∑_{n∈ℕ} c_{n} konvergiert, dann konvergieren auch ∑_{n∈ℕ} a_{n} und ∑_{n∈ℕ} b_{n}.

c) Wenn ∑_{n∈ℕ} a_{n} und ∑_{n∈ℕ} b_{n} absolut konvergieren, dann konvergiert auch ∑_{n∈ℕ} c_{n} absolut.

d) Wenn ∑_{n∈ℕ} c_{n} absolut konvergiert, dann konvergieren auch ∑_{n∈ℕ} a_{n} und ∑_{n∈ℕ} b_{n} absolut.

7. 3 Punkte Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine beschränkte Folge positiver, reeller Zahlen mit

2a_{n} ≤ a_{n−1} + a_{n+1} ∀ n ∈ ℕ .

Zeige, dass dann die Folge (b_{n})_{n∈ℕ} mit b_{n} = a_{n+1} − a_{n} eine Nullfolge ist.

Bitte wenden!

8. 2 Punkte Sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine konvergente Nullfolge positiver, reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass es zu jedem ε > 0 eine Teilfolge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} gibt mit

∑_{k=1}^{∞} a_{n_{k}} < ε

Rückgabe: spätestens Dienstag, 13.01.09, 10.30 Uhr in den Briefkästen