Prof. M. Schwarz  Analysis A  WS 2008/09

Musterlösung zu Serie 5

4.) Sei (X, d) ein metrischer Raum und (a_{n}) ∈ X^{ℕ} eine gegebene Folge.

a) Angenommen lim a_{n} = a ∈ X, also

∀ ε > 0 ∃ n_{o} = n_{o}(ε) ∈ ℕ mit d(a_{n}, a) < ε f.a. n ≥ n_{o} .

Sei (n_{k})_{k∈ℕ} mit n_{1} < n_{2} < …, also (a_{n_{k}}) eine Teilfolge von (a_{n}). Sei ε > 0 gegeben. Dann finden wir ein k_{o} ∈ ℕ mit n_{k_{o}} ≥ n_{o}(ε), und es gilt d(a_{n_{k}}, a) < ε für alle k ≥ k_{o}, also lim_{k→∞} a_{n_{k}} = a.

b) Angenommen es existiert ein a ∈ X so daß für alle Teilfolgen (a_{n_{k}}) von (a_{n}) gilt: lim a_{n_{k}} = a. \underline{Beh.:} Dann konvergiert auch (a_{n}) gegen a. \underline{Bew.:} Angenommen, das ist falsch. Also existiert ein ε > 0 so daß für alle n_{o} ∈ ℕ ein n ≥ n_{o} existiert mit d(a_{n}, a) ≥ ε. Daraus konstruieren wir rekursiv eine Teilfolge: Sei zuerst n_{o} = 1 und wir finden n_{1} ≥ 1. Sei darauf n_{o} = n_{1} + 1 und wir finden n_{2} > n_{1}, usw.. Also falls n_{k} gegeben ist, finden wir n_{k+1} ≥ n_{k} +1, so daß d(a_{n_{k+1}}, a) ≥ ε. Insgesamt haben wir also eine Teilfolge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} mit d(a_{n_{k}}, a) ≥ ε für alle k ∈ ℕ und diese kann nicht gegen a konvergieren. Widerspruch zur Annahme! Somit muss lim a_{n} = a gelten.