Prof. M. Schwarz  Analysis A  WS 2008/09

Hinweise zu Serie 8

1.

2. Was den Logarithmus anbetrifft, dürfen Sie verwenden, daß (ln n)_{n∈ℕ} monoton gegen ∞ divergiert und daß n > ln n f.a. n ∈ ℕ gilt. (Anstatt letzterem genügt eigentlich schon n > ln n f.a. n ≥ n_{o} für irgendein n_{o} ∈ ℕ und dies folgt aus n^{\frac{1}{n}} → 1, wenn man benutzt, daß ln x die Umkehrfunktion von e^{x} ist.)

3. Beachten Sie die korrigierte Fassung der Aufgabe.

4. Es sei V ein Vektorraum über ℝ. und ⟨·, ·⟩: V × V → ℝ eine ℝ-bilineare, symmetrische und positive Abbildung, d.h.:

⟨v + v′, w⟩ = ⟨v, w⟩ + ⟨v′, w⟩ f.a. v, v′, w ∈ V,
⟨λv, w⟩ = λ⟨v, w⟩ f.a. v, w ∈ V, λ ∈ ℝ,
⟨v, w⟩ = ⟨w, v⟩, f.a. v, w ∈ V,
⟨v, v⟩ > 0 f.a. v ≠ 0 .

Dann gilt mit der Notation |v|^{2} = ⟨v, v⟩:

0 ≤ |v − λw|^{2} = |v|^{2} − 2λ⟨v, w⟩ + λ^{2}|w|^{2} .

Falls nun w ≠ 0, so setze λ = \frac{⟨v,w⟩}{|w|^{2}} und erhalte

|v|^{2} − 2\frac{⟨v, w⟩^{2}}{|w|^{2}} + \frac{⟨v, w⟩^{2}}{|w|^{2}} ≥ 0,

also

⟨v, w⟩ ≤ |v|^{2}|w|^{2} .