Prof. M. Schwarz  Analysis A  WS 2008/09

Serie 9

1. a) Zeige (2 Punkte): Für alle x, y ∈ ℝ ist ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} absolut konvergent und es gilt

(∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} ) (∑_{n=0}^{∞} \frac{y^{n}}{n!} ) = (∑_{n=0}^{∞} \frac{(x + y)^{n}}{n!} ) .

b) Zeige (2 Punkte): Für alle x ∈ ℚ gilt

∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} = e^{x} .

2. 3 Punkte Zeige durch Induktion nach k: Für alle k ∈ ℕ und |x| < 1 ist

∑_{n=0}^{∞} \binom{n + k − 1}{k − 1}x^{n} = \frac{1}{(1 − x)^{k}} .

3. 1 Punkt pro Teilaufgabe: Berechne die Grenzwerte a) a = 1 − \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} − \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} ∓ …,

b) b = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + \frac{5}{32} + …,

c) c = 2, 01010101 … in der 3-adischen Darstellung.

d) d = 0, 123123123123 … in der 4-adischen Darstellung.

4. Betrachte die folgende sogenannte Doppelfolge für (m, n) ∈ ℕ × ℕ:

a_{m,n} := \begin{cases}\frac{1}{m^{2}−n^{2}} , & falls m ≠ n, \\ 0, & falls m = n . \end{cases}

a) Zeige (1 Punkt): Für jedes feste m ∈ ℕ ist r_{m} := ∑_{n∈ℕ} a_{m,n} konvergent und für jedes feste n ∈ ℕ ist s_{n} := ∑_{m∈ℕ} a_{m,n} konvergent.

b) (2 Punkte): Zeige s_{n} = \frac{3}{4n^{2}} und berechne r_{m}.

c) Zeige (1 Punkt): Die Reihen ∑_{m∈N} r_{m} und ∑_{n∈ℕ} s_{n} sind konvergent, d.h.

∑_{m∈ℕ} (∑_{n∈ℕ} a_{m,n}) und ∑_{n∈ℕ} ( ∑_{m∈ℕ} a_{m,n})

existieren, und sie sind verschieden.

Rückgabe: spätestens Dienstag, 16.12.08, 10.30 Uhr in den Briefkästen