Prof. M. Schwarz  Analysis A  WS 2008/09

Serie 8

1. (2 Punkte) Es sei (a_{n}) ∈ ℝ^{ℕ} eine monoton fallende Nullfolge von nicht-negativen reellen Zahlen. Zeige: Dann ist die Reihe

∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n+1}a_{n} = a_{1} − a_{2} + a_{3} ± …

konvergent. (Hinweis: Dies ist das sogenannte Leibniz-Kriterium. Übertrage den Beweis der Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe.)

2. Untersuche auf Konvergenz: (je 1 Punkt)

(a)  ∑_{n=0}^{∞} \frac{n^{9}}{2^{n}}  (b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{1 + n^{2}} (c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{n(n + 1)}} (d) ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{ln n}
(e) ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{(ln n)^{n}} (f) ∑_{n=2}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{ln n} (g)  ∑_{n=0}^{∞} \frac{n^{2} + 1}{n!}  (h) ∑_{n=0}^{∞} \frac{1 + n}{1 + 4n}

3. a) Zeige (2 Punkte): Die Reihe ∑ a_{n} konvergiert genau dann absolut, wenn ∑ \frac{a_{n}}{1+a_{n}} absolut konvergiert.

b) optional (2 Punkte): Finde ein Gegenbeispiel zu a), wenn auf beiden Seiten das Adverb ’absolut’ weggelassen wird.

4. a) (2 Punkte) Es seien ∑ |a_{n}|^{2} und ∑ |b_{n}|^{2} konvergente Reihen. Zeige:

Die Reihe ∑ a_{n}b_{n} konvergiert absolut und es gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

| ∑_{n=0}^{∞} a_{n}b_{n}| ≤ (∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|^{2})^{1/2} (∑_{n=0}^{∞} |b_{n}|^{2})^{1/2} .

b) (1 Punkt) Falls ∑ |a_{n}|^{2} konvergiert, so konvergiert ∑_{n=1}^{∞} a_{n}/n absolut.

Rückgabe: spätestens Dienstag, 09.12.08, 10.30 Uhr in den Briefkästen