Prof. M. Schwarz  Analysis A  WS 2008/09

Serie 6

1. a) (2 Pkte) Betrachte (ℝ^{n}, d) mit der Betragssummen-Metrik aus Serie 3, Aufg. 4a). Zeige: (x_{k})_{k∈ℕ} mit x_{k} = (x_{k,1}, …, x_{k,n}) ∈ ℝ^{n} konvergiert in (ℝ^{n}, d) genau dann, wenn jede der n Koordinatenfolgen (x_{k,i})_{k∈ℕ}, i = 1, …, n für k → ∞ konvergiert.

b) (2 Pkte) Sei a > 0. Zeige: lim_{n→∞} a^{\frac{1}{n}} = 1.

Hinweis: Fallunterscheidung, a ≶ 1, benutze Monotonie und betrachte Teilfolge a^{\frac{1}{2n}}.

2. a) (2 Pkte) Gegeben (a_{1}, …, a_{k}) ∈ ℝ^{k}, zeige

lim_{n→∞} (∑_{i=1}^{k} |a_{i}|^{n})^{\frac{1}{n}} = max_{1≤i≤k} |a_{i}| .

b) (2 Punkte) Seien p(x) = a_{k}x^{k} + … + a_{1}x + a_{0} und q(x) = b_{l}x^{l} + … + b_{0} komplexe Polynome vom Grad k bzw. l, d.h. a_{0}, …, a_{k}, b_{0}, …, b_{l} ∈ ℂ, mit a_{k}, b_{l} ≠ 0. Seien q(n) ≠ 0 f.a. n ≥ n_{o}. Zeige: Die Folge c_{n} = \frac{p(n)}{q(n)} für n ≥ n_{o} konvergiert dann und nur dann, wenn k ≤ l. Berechne im Falle der Konvergenz den Limes.

3. (3 Pkte) Sei (a_{n}) konvergent mit a_{n} > 0 f.a. n ∈ ℕ und

b_{n} = (a_{1} · a_{2} · . . . · a_{n})^{\frac{1}{n}} .

Zeige (b_{n}) ist konvergent und berechne den Grenzwert.

4. Seien a_{2} > a_{1} > 0 und a_{n+1} = \frac{a_{n}+a_{n−1}}{2} für n ≥ 2 rekursiv definiert. Zeige:

a) (1 Pkt) (a_{2n}) und (a_{2n−1}) sind monotone Folgen.

b) (1 Pkt) (a_{2n}) und (a_{2n−1}) konvergieren gegen den gleichen Grenzwert.

c) (2 Pkte) lim a_{n} = \frac{2a_{2}+a_{1}}{3} .

Rückgabe: spätestens Dienstag, 25.11.08, 10.30 Uhr in den Briefkästen