Prof. M. Schwarz  Analysis A  WS 2008/09

Serie 5

1. (4 Punkte) Zeige:

a) lim \sqrt{n} existiert nicht.

b) lim \sqrt{n}(\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}) = \frac{1}{2}.

c) lim n(\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}) existiert nicht.

d) lim(\frac{1+2+3+...+n}{n}) existiert nicht.

e) lim(\frac{1+2+3+...+n}{n^{2}}) = \frac{1}{2}.

f) lim(\frac{1+2+3+...+n}{n^{3}}) = 0.

g) lim(\frac{n(1+2+3+...+n)}{1^{2}+2^{2}+...+n^{2}}) = \frac{3}{2}.

h) lim \frac{100^{n}}{n!} = 0.

2. Zeige (3 Punkte): Die Lösungsmenge in den komplexen Zahlen für die Gleichung

a|z|^{2} + b̄z + bz̄ + c = 0

mit a, c ∈ ℝ, b ∈ ℂ und |b|^{2} − ac > 0 ist ein Kreis oder eine Gerade.

3. a) (2 Punkte) Berechne den Grenzwert a der Folge a_{n} = \sqrt{n^{2} + 2n} − n.

b) (2 Punkte) Wie groß muß man in (a) das n_{0} ∈ ℕ mindestens wählen, damit |a_{n} − a| < 10^{−4} gilt f.a. n ≥ n_{0}?

4. (4 Punkte) Es sei (X, d) ein metrischer Raum und (a_{n}) ∈ X^{ℕ} eine Folge. Zeige: (a_{n}) konvergiert genau dann, wenn jede Teilfolge konvergiert und ale Grenzwerte übereinstimmen.

Rückgabe: spätestens Dienstag, 18.11.08, 10.30 Uhr in den Briefkästen