Prof. M. Schwarz  Analysis A  WS 2008/09

Serie 4

1. (3 Punkte) Zeige durch vollst. Induktion: Es gibt \frac{n!}{k!(n−k)!} viele Möglichkeiten aus einer n-elementigen Menge eine k-elementige Teilmenge auszuwählen. (d.h. hiermit soll die Formel für \binom{n}{k} bewiesen werden.)

2. a) (3 Punkte) Es sei x_{0} > 0 eine beliebige positive Zahl und a > 0 fest vorgegeben. Definiere rekursiv

die Folge (x_{n})_{n∈ℕ} durch

x_{n+1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{a}{x_{n}} ) .

Zeige: x_{n}^{2} ≥ a f.a. n ≥ 1, und x_{n+1} ≤ x_{n} f.a. n ≥ 1. Berechne x > 0 mit x = \frac{1}{2}(x + \frac{a}{x}).

b) (2 Punkte) Es sei a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} für n ∈ ℕ. Zeige: a_{n} ≤ 1 + ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k!} f.a. n ∈ ℕ.

3. (4 Punkte) Bestimmte von folgenden komplexen Zahlen Real- und Imaginärteil:

a) \frac{1}{1−i},

b) \frac{3+i}{5−i},

c) (\frac{1+i}{1−i})^{k}, für alle k ∈ ℤ,

d) die Lösungen von z^{2} = i.

4. (3 Punkte) Zeichne die Punktmengen:

a) M_{1} = { z ∈ ℂ | |z| = |z − 2| },

b) M_{2} = { z ∈ ℂ | 2 < |z + i| < 3 },

c) M_{3} = { z ∈ ℂ | |z| ≥ 1, |ℜz| ≤ 1/2, ℑz > 0 }. Rückgabe: spätestens Dienstag, 11.11.08, 10.30 Uhr in den Briefkästen