Prof. M. Schwarz  Analysis A  WS 2008/09

Serie 3

1. (4 Punkte)

a) Zeige ausführlich mittels vollständiger Induktion:

∀n, m ∈ ℕ, a_{1}, …, a_{n}, b_{1}, …, b_{m} ∈ ℝ : ( ∑_{i=1}^{n} a_{i}) · ( ∑_{j=1}^{m} b_{j}) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{m} a_{i}b_{j} .

b) Zeige f.a. a ∈ ℝ und m, n ∈ ℕ:

(a^{m})^{n} = a^{m·n} .

c) Zeige durch vollständige Induktion für die Mengen K = {1, …, k} und N = {1, …, n} mit

k, n ∈ ℕ, daß gilt

#N^{K} = n^{k},

(zur Erinnerung: N^{K} bezeichnet die Menge aller Abbildungen f: K → N.)

d) Beweise: (1 + x)(1 + x^{2})(1 + x^{4}) · . . . · (1 + x^{2^{n}}) = \frac{1−x^{2^{n+1}}}{1−x} für x ≠ 1.

2. a) (1 Punkt) Zeige: Für alle n, m ∈ ℕ mit n > m und jede Abbildung f: {1, …, n} → {1, …, m} gibt es zwei verschiedene n_{1}, n_{2} ∈ {1, …, n} mit f(n_{1}) = f(n_{2}). (Dies heißt das Schubfachprinzip.)

b) (2 Punkt) Zeige mit dem Schubfachprinzip, daß für jede Permutation, d.h. Bijektion f: {1, …, n} → {1, …, n} das Produkt (f(1) − 1)(f(2) − 2) · . . . · (f(n) − n) gerade ist, falls n ∈ ℕ ungerade ist.

3. (4 Punkte) Definiere rekursiv folgende Folge (u_{n})_{n∈ℕ}. u_{1} = u_{2} = 1 und u_{n} = u_{n−1} + u_{n−2} fa. n ≥ 2. Diese Folge heißt die Fibonacci-Folge. Es seien α, β ∈ ℝ die zwei Lösungen der Gleichung x^{2} − x − 1 = 0. Es spielt im Folgenden keine Rolle, welche Werte diese Zahlen haben, außer daß α ≠ β und α ≥ 1. Zeige f.a. n ∈ ℕ:

a) ∑_{i=1}^{n} u_{i} = u_{n+2} − 1,

b) ∑_{i=1}^{n} u_{i}^{2} = u_{n}u_{n+1},

c) u_{n} = \frac{α^{n}−β^{n}}{α−β},

d) α^{n−2} ≤ u_{n} ≤ α^{n−1}.

Bitten wenden!

4. a) (2 Punkte) Zeige, daß der Ausdruck

d((x_{1}, …, x_{n}), (y_{1}, …, y_{n})) = ∑_{i=1}^{n} |x_{i} − y_{i}|

eine Metrik d: ℝ^{n} × ℝ^{n} → [0, ∞) definiert.

b) (2 Punkte) Finde (sofern es existiert) Infimum, Supremum, Minimum und Maximum von

⋃_{n∈ℕ} ( − 1 + \frac{1}{n}, 2 + \frac{1}{n}) und ⋂_{n∈ℕ} ( − 1 + \frac{1}{n}, 2 + \frac{1}{n}) .

Rückgabe: spätestens Dienstag, 04.11.08, 10.30 Uhr in den Briefkästen