Prof. M. Schwarz  Analysis A  WS 2008/09

Serie 2

1. (2 Punkte) Es sei (P_{n})_{n∈ℕ} eine Familie von Aussagen, welche folgende Eigenschaft hat: (a) P_{1} ist wahr,

(b) Falls alle P_{k} für 1 ≤ k ≤ n wahr sind, so auch P_{n+1}. Zeige: Dann ist für alle n ∈ ℕ die Aussage P_{n} wahr.

2. Beweise ohne Verwendung der Binomialformel:

a) (2 Punkte) Für alle n ∈ ℕ und x ∈ ℝ mit x ≥ −1 gilt (1 + x)^{n} ≥ 1 + nx.

b) (2 Punkte) Für alle n ∈ ℕ mit n ≥ 2 und x ∈ ℝ mit x > −1 und x ≠ 0 gilt (1 + x)^{n} > 1 + nx.

3. Sei A_{n} = { k ∈ ℕ | 1 ≤ k ≤ n }.

a) (2 Punkte) Zeige (durch Induktion): f: A_{n} → A_{n} injektiv ⇒ f ist bijektiv.

b) (2 Punkte) Zeige: f: A_{n} → A_{m} bijektiv ⇒ n = m.

Hinweis: Fallunterscheidung, Fall n > m: betrachte Inklusionsabb.

i: A_{m} → A_{n}, i(k) = k und die Komposition i ∘ f: A_{n} → A_{n}.

4. (5 Punkte) Gegeben zwei Teilmengen A, B ∈ ℝ, definiere −A := {−a | a ∈ A} und

A + B := { a + b | a ∈ A, b ∈ B }, A · B := { a · b | a ∈ A, b ∈ B } .

Beweise oder widerlege:

(a) sup(−A) = − inf A  (b) sup(−A) = − sup A
(c) sup(A + B) = sup A + sup B  (d) inf(A · B) = (inf A) · (inf B)
(e) A ⊆ B ⇒ sup A ≤ sup B  (f) A ⊆ B ⇒ inf A ≤ inf B
(g) sup(A ∩ B) ≤ min{sup A, sup B} (h) inf(A ∩ B) ≥ max{inf A, inf B}.

Rückgabe: Dienstag, 28.10.08 in den Briefkästen