Prof. M. Schwarz  Analysis A  WS 2008/09

Serie 12

1. a) (1 Punkt) Es sei f: D → ℂ eine beschränkte Funktion auf einer Umgebung D von 0 in ℝ oder ℂ.

Zeige: f(x) · o(x^{n}) = o(x^{n}).

b) (3 Punkte) Es sei nun f: D → ℂ eine stetige Funktion auf einer Umgebung D von 0 in ℝ oder ℂ

mit f(0) ≠ 0. Zeige:

\frac{1}{f(x) + o(x^{n})} = \frac{1}{f(x)} + o(x^{n}) .

c) (1 Punkt) Es sei f: D → ℂ definiert auf einer Umgebung von x_{o} in ℝ oder ℂ. Zeige: Wenn lim_{x→x_{o}} \frac{f(x)−f(x_{o})}{x−x_{o}} existiert, so ist f differenzierbar in x_{o}.

2. Finde stetige Fortsetzungen für folgende Funktionen (je 1 Punkt):

a) f(x) = x sin 1/x, x ≠ 0,

b) f(x) = \frac{sin(sin x)}{x}, x ≠ 0,

c) ^{\frac{e^{− \frac{1}{x^{2}}}}{x}} , x ≠ 0

.

3. Die hyperbolischen Funktionen sind definiert durch:

cosh z = \frac{e^{z} + e^{−z}}{2} , sinh z = \frac{e^{z} − e^{−z}}{2} , f.a. z ∈ ℂ .

a) (2 Punkte) Stelle sinh z, cosh z als Potenzreihen dar.

b) (2 Punkte) Zeige:

cosh z = cos iz, sinh z = −i sin iz,
cosh^{2} z − sinh^{2} z = 1,

cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w, sinh(z + w) = … (finde analoge Formel)

4. Sei f: (−π/2, π/2) → ℝ eine differenzierbare Funktion mit f′(x) = \frac{1}{1+x^{2}} . Bestimme die Ableitungen der Funktionen (je 1 Punkt):

a) f(1 + x^{2}),

b) f(f(f(f(3x + 4)))

c) \frac{1}{f( \frac{1}{x})} + f(\frac{1}{x}).

Rückgabe: spätestens Donnerstag, 22.01.09, 10.30 Uhr in den Briefkästen