Prof. M. Schwarz  Analysis A  WS 2008/09

Serie 11

1. a) (1 Punkt) Zeige, daß die Funktion f: ℂ^{∗} → ℂ, f(z) = \frac{z−z̄^{2}}{|z|^{q}} für alle q ∈ ℚ stetig ist, wobei ℂ^{∗} := ℂ \ {0}.

b) (2 Punkte) Für welche q ∈ ℚ existiert eine stetige Fortsetzung von f nach ℂ?

2. Die folgenden Funktionen seien nur für reelle x betrachtet:

a) (1 Punkt) Berechne lim_{x↓0} (1 + e^{\frac{1}{x}} )^{−1} und lim_{x↑0} (1 + e^{\frac{1}{x}} )^{−1}.

b) (1 Punkt) Berechne lim_{x→0} \frac{1}{x} (\sqrt{1 + x} − \sqrt{1 − x}).

c) (2 Punkte) Bestimme lim_{x→∞}(\sqrt{2x} − \sqrt{x + 1}) und lim_{x→∞} (\sqrt{x + \sqrt{x}} − \sqrt{x − \sqrt{x}}).

3. a) (2 Punkte) Es seien I ⊂ ℝ ein Intervall und f, g: I → ℝ stetige Funktionen. Für alle rationalen Zahlen r ∈ I ∩ ℚ gelte f(x) = g(x). Zeige: Dann ist f(x) = g(x).

b) (2 Punkte) Es sei f: ℝ → ℝ stetig, und für alle x, y ∈ ℝ gelte f(x + y) = f(x) + f(y). Zeige: Dann existiert eine Zahl a ∈ ℝ mit f(x) = ax für alle x ∈ ℝ.

4. a) (2 Punkte) Es sei f: [a, b] → ℝ eine stetige Funktion. Zeige: Die Wertemenge f([a, b]) ist entweder ein Punkt (d.h. f = const) oder ein abgeschlossenes Intervall.

b) (2 Punkte) Es gelte nun zudem f([a, b]) ⊆ [a, b]. Zeige: Es existiert ein Fixpunkt x_{o} ∈ [a, b] von f, d.h. f(x_{o}) = x_{o}.

Rückgabe: spätestens Donnerstag, 15.01.09, 10.30 Uhr in den Briefkästen