Prof. M. Schwarz  Analysis A  WS 2008/09

Serie 10

1. Berechne die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

a) ∑_{n=0}^{∞}(n + a^{n})x^{n}, (a ≥ 0 fest),

b) ∑_{n=0}^{∞}(3 + (−1)^{n})^{n}x^{n},

c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n!}{n^{n}} x^{n},

d) ∑_{n=0}^{∞} x^{n^{2}},

e) ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{2n+1}}{4^{n}}.

2. a) Zeigen Sie (2 Punkte): Ein Polynom p(z) ∈ ℂ[z] nimmt genau dann für alle z ∈ ℝ nur reelle Werte an, wenn alle seine Koeffizienten reell sind.

b) (2 Punkte) Zeigen Sie, daß sich jedes reelle Polynom f(x) = a_{n}x^{n} + … + a_{1}x + a_{0} ∈ ℝ[x] in reelle Polynome von Grad ≤ 2 faktorisieren läßt. (Sie dürfen den Fundamentalsatz der Algebra verwenden.)

3. a) (1 Punkt) Führe Division mit Rest, f = qg + r, durch für die Polynome f(x) = x^{3} − 2x^{2} − 5x + 6 und g(x) = x^{2} + 8x − 3.

b) (2 Punkte) Finde die Partialbruchzerlegung von

R(x) = \frac{−x^{2} − 8x + 3}{x^{3} − 2x^{2} − 5x + 6} .

c) (3 Punkte) Finde die Folge (a_{n})_{n∈ℕ_{o}} so daß die Potenzreihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} positiven Konvergenzradius r > 0 hat und für alle |x| < r gegen die Funktion f(x) = \frac{1}{x^{2}−2x−3} konvergiert. Wie lautet der Konvergenzradius?

Rückgabe: spätestens Dienstag, 06.01.09, 10.30 Uhr in den Briefkästen