Prof. M. Schwarz  Analysis A  WS 2008/09

Serie 1

1. Folgern Sie aus den Axiomen der reellen Zahlen (2 Punkte):

1. −(x + y) = −x − y f.a. x, y und (xy)^{−1} = x^{−1}y^{−1} f.a. x, y ≠ 0.

2. 0 < x < y und z < 0 ⇒ xz > yz

3. xy < 0 ⇔ ( x < 0 undy > 0) oder ( x > 0 undy < 0)

4. 0 < x < y ⇒ \frac{1}{x} > \frac{1}{y}

2. Beweise durch vollständige Induktion (3 Punkte):

a) 1^{3} + 2^{3} + … + n^{3} = (\frac{1}{2}n(n + 1))^{2},

b) Für alle natürlichen Zahlen n ist 3^{n} ≥ n^{3}.

3. (a) Zeige (2 Punkte): Das Vollständigkeitsaxiom in 1.1.III ist äquivalent zu folgender Aussage: Zu je zwei nichtleeren Teilmengen A und B von ℝ mit a < b für alle a ∈ A und b ∈ B gibt es eine reelle Zahl t mit a ≤ t ≤ b für alle a ∈ A und b ∈ B.

(Das bedeutet: Man darf im Vollständigkeitsaxiom “a ≤ b” durch “a < b” ersetzen.)

(b) Zeige (2 Punkte): Es gibt Mengen A und B wie in (a), so daß keine Zahl t ∈ ℝ existiert mit a < t < b für alle a ∈ A und b ∈ B. (Das bedeutet: Man darf im Vollständigkeitsaxiom nicht “a ≤ t ≤ b” durch “a < t < b” ersetzen.)

4. (Je 2 Punkte)

a) Die “Dedekindsche Schnitteigenschaft” besagt: Sind A und B nichtleere Teilmengen von ℝ mit ℝ = A ∪ B und a < b für alle a ∈ A und b ∈ B, so gibt es eine reelle Zahl t mit a ≤ t ≤ b für alle a ∈ A und b ∈ B, und diese Zahl t ist eindeutig bestimmt.

Zeige: Vollständigkeitsaxiom ⇔ Dedekindsche Schnitteigenschaft.

b) Sei A eine nichtleere Menge positiver Zahlen mit inf A > 0. Sei B = \{ \frac{1}{a} | a ∈ A \}. Zeige: sup B = \frac{1}{inf A}. ( Beachte: Vergiß nicht zu zeigen, daß sup B auch existiert!)

c) Seien A und B wie in a), jedoch inf A = 0. Zeige: B ist nach oben unbeschränkt.

Rückgabe: Dienstag, 21.10.08 in den Briefkästen