Prof. M. Schwarz  Analysis 1  WS 2008/09

Übungs-Klausur

Name: Matr.-Nr.:

Es dürfen keine Hilfsmittel (Taschenrechner, Skript, Buch, Notizen, etc.) verwendet werden. Endergebnisse, Lösungswege und getroffene Aussagen sollten formuliert werden.

1. a) Formuliere das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen (oder eine dazu äquivalente Aussage). b) Zeige: Jede beschränkte Teilmenge von ℕ hat ein größtes Element.

c) Bestimme sup_{n∈ℕ}(3 + \frac{(−1)^{n}}{n}) und lim sup_{n∈ℕ}(3 + \frac{(−1)^{n}}{n}).

2. Zeige: Für alle n ∈ ℕ gilt: 7 teilt 10^{n} − 3^{n}.

3. Bestimmen Sie alle z ∈ ℂ mit z^{4} = −16 und skizzieren Sie diese in der komplexen Zahlenebene. (2 Punkte)

4. a) Bestimme für folgende Folgen (a_{n})_{n∈ℕ} reeller Zahlen ob Konvergenz oder Divergenz vorliegt und berechne im Konvergenzfall den Grenzwert:

• a_{n} = \frac{10^{n}}{n^{10}}

• a_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}+k}

b) Zeige: Eine monotone und beschränkte reelle Folge ist konvergent.

5. a) Bestimme Konvergenz oder Divergenz folgender Reihen:

• ∑ \frac{1}{n!}

• ∑(\frac{1}{3+(−1)^{n}})^{n}

b) Beweise folgende einfache Version des Quotientenkriteriums: Sei (a_{n}) eine Folge positiver reeller

Zahlen mit \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ≤ q < 1 f.a. n ∈ ℕ. Zeige: ∑ a_{n} konvergiert.

6. Geben Sie die Definition der Stetigkeit einer Funktion f: D → ℂ, D ⊂ ℂ, in einem Punkt z_{o} ∈ D. Bitten wenden!

7. Sei f: ℝ → ℝ stetig mit f(\frac{m}{2^{n}}) = 0 für alle m ∈ ℤ, n ∈ ℕ ∪ \{0\}. Zeige: f(x) = 0 für alle x ∈ ℝ. (3 Punkte)

8. Bestimme den Konvergenzradius folgender Potenzreihen:

a) ∑ \frac{x^{2n+1}}{4^{n}},

b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{3}z^{n}}{(2n)!} .

(4 Punkte)

9. Sei (a_{n}) die Folge (1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, …). Berechnen Sie ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{3^{n}}. Wie ändert sich der Wert für (a_{n}) = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, …)?(3 Punkte)

10. Bestimmen Sie die stetige Fortsetzung von \frac{sin z}{z} auf ℂ \ \{0\} nach 0.(3 Punkte)