Dr.Quapp: Statistik mit SPSS - HS 2003 - Computerkabinett 4-24HG

Zusatzaufgabe zur 8. Übung - Zerlegungsmethode für Zufallszahlen

Erzeugen Sie (je 2004 Zeilen) zwei Zufallsgrößen $X$ und $Z$ mit der vorgegebenen Verteilungsdichte

$$A) \ \ \ \ \ f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 1+2x-3x^2 &\ f\uml ur \ \ 0 \le x \le 1 \\ 0 & \ sonst . \end{array} \right.$$

und

$$B) \ \ \ \ \ f(z)=\left\{ \begin{array}{ll} 1/3+2/3 z+z^2 & f\uml ur \ \ 0 \le z \le 1 \\ 0 & sonst . \end{array} \right.$$

zu A)
Die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen $X$ ist für $0 \le x \le 1$ das Polynom $F(x)= x + x^2 -x^3$. Die Anwendung der Inversionsmethode scheitert, wenn wie hier zu Polynomen von höherem Grad nicht leicht die Umkehrfunktion angegeben werden kann. Zu $F(x)$ kann aber hier die Umkehrung $1-F(x)$ betrachtet werden:

$$1-F(x) = 1 -x-x^2+x^3 = (1-x) (1-x^2) \ ,$$

die zerlegbar ist in Linearfaktoren. In Analogie zu Aufgabe 8.2 ist das Produkt equivalent zu den Wahrscheinlichkeiten

$$\ \ \ = P(U_1\ge x) \ P(Max[U_2,U_3]\ge x)$$

$$\ \ \ = P(Min[U_1, Max[U_2,U_3]] \ge x) \ .$$

Dabei sind $U_1, U_2, U_3$ gleichverteilte Zufallszahlen aus [0,1].

Im SPSS-Experiment ergibt sich für die Erzeugung der Zufallsvariable $X$ folglich die Methode:

1.

Erzeuge $U_1, U_2, U_3 \sim$ RV.UNIFORM(0,1).

2.

Berechne Zufallsvariable $X =Min(U_1, Max(U_2,U_3))$.

3.

Vergleiche einen LinienPlot der Dichte mit einem Histogramm von $X$.

Die Figuren 1 und 2 zeigen, dass die Zufallsvariable $X$ gut getroffen wurde.

Figure 1: Die Dichte A ist die gerundete Kurve.

Figure 2: Histogramm der Zugfallszahlen X zur Dichte A.

zu B)
Die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen $Z$ ist für $0 \le z \le 1$ das Polynom $F(z)=\frac{1}{3} z + \frac{1}{3} z^2 +\frac{1}{3} z^3$. Die Anwendung der Inversionsmethode scheitert, wenn wie hier zu Polynomen von höherem Grad nicht leicht die Umkehrfunktion angegeben werden kann. Zu $F(z)$ kann hier die folgende Zerlegung betrachtet werden:

$$F(z) = z\ (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} z +\frac{1}{3} z^2 ) = ... ...rac{2}{3} (\frac{1}{2} z + \frac{1}{2} z^2 )) \hspace{2cm}(*)$$

die einen Linearfaktor $z$ wie bei A) enthält. Der Ausdruck in den Klammern muss jedoch noch durch einen weiteren Trick behandelt werden:

Idee: wenn eine ``konvexe Linearkombination'' von zwei Verteilungsfunktionen vorliegt, $\alpha F(z) + (1-\alpha ) G(z)$, wobei $\alpha$ aus (0,1) ist, dann kann man die entsprechende Verteilung simulieren durch folgendes Vorgehen:
Wähle U gleichverteilt aus (0,1), wenn
$U < \alpha$, dann erzeuge $v$ zu F(z) und setze $z=v$, oder wenn
$U > \alpha$, dann erzeuge $w$ zu G(z) und setze $z=w$.

In Analogie zu Aufgabe 8.2 ist das Produkt in $(*)$ equivalent zu einem Maximum, es wird zuletzt erzeugt. In der Klammer haben wir zweimal eine Linearkombination realisiert,
mit a) $\alpha$=1/3, $F(z)= \delta_o(z)$ und $G(z)=$zweite Klammer()
und b) $\alpha$=1/2, $F(z)= z$ und $G(z)=z^2$ .

Im SPSS-Experiment ergibt sich für die Erzeugung der Zufallsvariable $Z$ folglich die Methode:

1.

Erzeuge $U_1, U_2, U_3, U_4, U_5, U_6 \sim$ RV.UNIFORM(0,1).

2.

Berechne für a) Zufallsvariable $Y$ wenn

$$\left\{ \begin{array}{ll} U_1 < \frac{1}{3} & \ setze \ y=0 \\ U_1 > \frac{1}{3} & \ setze \ y=U_2 . \end{array} \right.$$

Dabei ist $y=0$, wenn die Verteilungsfunktion sich nicht ändert, also konstant ist. Dann gibt es keinen Zuwachs, somit darf keine Zufallszahl in diesem Intervall liegen.

3.

Berechne für b) weiterhin Zufallsvariable $Y$ wenn

$$\left\{ \begin{array}{lll} (U_1 > \frac{1}{3}) & \& \ (U_3 ... ...\frac{1}{2}) & \ setze \ y=Max[U_4,U_5] . \end{array} \right.$$

Dabei berücksichtigt das Maximum wieder das $z^2$ in der Verteilungsfunktion.

4.

Berechne für Zufallsvariable $Z$ das verbleibende Produkt

$$Z = Max(U_6, Y) \ .$$

5.

Vergleiche einen LinienPlot der Dichte mit einem Histogramm von $Z$.

Die Figuren 3 und 4 zeigen, dass auch die Zufallsvariable $Z$ gut getroffen wurde.

Figure 3: Die Dichte B ist die gerundete Kurve.

Figure 4: Histogramm der Zugfallszahlen Z zur Dichte B.