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MPI für Mathematik in den Naturwissenschaften
Universität Leipzig
Fakultät für Mathematik und Informatik
Mathematisches Institut - Studium
Numerik 1 (Professor Dr. Peter Kunkel)
Teilnehmerkreis:
Studierende im 4. Fachsemester mit angestrebtem Abschluß Diplom-Mathematik
und Diplom-Wirtschaftsmathematik
Scheinvergabe:
Die Scheine werden auf der Grundlage der Ergebnisse einer 90-minütigen Klausur vergeben.
Voraussetzung für die Zulassung zu dieser Klausur ist das richtiges Lösen
von Übungsaufgaben (mind. 50% der maximal erreichbaren Punkte)
sowie aktive Teilnahme an den Übungen.
Vorkenntnisse:
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Inhalt:
Für viele in Naturwissenschaft und Technik auftretende Probleme
kann man die Lösung nicht in geschlossener Form angeben.
Vielmehr ist man darauf angewiesen, Zahlenwerte für die Lösung
zu berechnen. Man stößt dabei auf das Problem, daß man wegen der
Endlichkeit des Rechners nur endlich viele Zahlen zur Verfügung hat.
Ausserdem möchte man das Resultat in endlicher Zeit vorliegen haben.
Man kann also nur endlich viele Rechenoperationen ausführen.
Unter diesen Vorgaben beschäftigt sich die Numerische Mathematik
mit der Entwicklung und Beurteilung von Rechenverfahren (Algorithmen).
Stichworte zum Inhalt der Vorlesung sind: Rechnerarithmetik
und Fehleranalyse, lineare Gleichungssysteme, Interpolation, Differentiation,
Integration, nichtlineare Gleichungssysteme, Eigenwertprobleme.
Gliederung:
0 Vorbemerkungen
1 Rechnerarithmetik und Fehleranalyse
1.1 Arithmetik der Maschinenzahlen
1.2 Grundlegende Begriffe
1.3 Differentielle Fehleranalyse
2 Lineare Gleichungssysteme
2.1 Kondition des Problems
2.2 Gauß-Elimination
2.3 Nachiteration
2.4 Cholesky-Zerlegung
2.5 QR-Zerlegung
2.6 Lineare Ausgleichsrechnung
3 Interpolation
3.1 Polynom-Interpolation
3.2 Trigonometrische Interpolation
3.3 Spline-Interpolation
4 Differentiation
4.1 Kondition
4.2 Differenzenverfahren
4.3 Extrapolationsverfahren
4.4 Symbolisches/Automatisches Differenzieren
5 Integration
5.1 Newton/Cotes-Formeln
5.2 Extrapolation
5.3 Gauß-Quadratur
6 Nichtlineare Gleichungssysteme
6.1 Iterationsverfahren
6.2 Intervallmethoden
6.3 Sekantenverfahren
6.4 Newton-Verfahren
6.5 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme
7 Eigenwertprobleme
7.1 Kondition
7.2 Vektoriteration und inverse Iteration
7.3 Rayleigh-Quotienten-Iteration mit Deflation
7.4 QR-Verfahren
Literatur:
Stoer: Numerische Mathematik 1; Springer.
Deuflhard/Hohmann: Numerische Mathematik 1; Walter de Gruyter.
Reimer: Grundlagen der Numerischen Mathematik I; Akademische Verlagsgesellschaft.
Werner: Numerische Mathematik 1/2; Vieweg.